دیسک واحد کوانتومی

آلن کن نشان داده است که قسمت اعظم هندسه دیفرانسیل را می توان به حالت ناجابجایی تعمیم داد. در این حالت یک ‏‎c*‎‏ - جبر ناجابجایی جانشین جبر توابع روی یک مانیفلد است که در این c*‎‏ - جبریک *‎‏‏‏ - جبر متراکم وجود دارد. لذا هر جبر به صورت یک زوج c*‎‏ - جبر و * جبر متراکم در آن می باشد. هدف این پایان نامه، توسیع نظریه رویه های ریمانی به حالت ناجابجایی است. اعتقاد بر این است که رویه های ریمانی ناجابجایی نقش برجسته ای در هندسه دیفرانسیل ناجابجایی دارند. ساده ترین روش ساختن مانیفلدهای ناجابجایی در قالب نظریه دگردیسی کوانتشی است. فیزیکدانان درصدد برآمدند که در تئوری های موجود فیزیک فضاهای کوانتومی را جانشین فضاهای معمولی کنند تا شاید از یک طرف توجیهی برای برخی مطالب توجیه نشده فیزیکی بیابند و از سوی دیگر به حقایقی تازه برسند. اهمیت نظریه دگردیسی از نظر ریاضی در نظریه پایانی ساختارهای ریاضی است. یک ساختار ریاضی تحت یک خانواده از دگردیسی ها پایاست هرگاه هر دگردیسی در این خانواده منجر به یک ساختار هم ارز شود. مرجع اصلی این رساله، مقاله ‏‎[18]‎‏ می باشد و در آن ابتدا تعریفی از دیسک واحد کوانتومی ‏‎cu(u)‎‏ بر حسب مولدها ارائه می شود و سپس عمل ‏‎su(1,1)/z2‎‏ روی ‎cu(u)‎‏ ساخته می شود. در فصل های 3 و 4 نظریه نمایش ‎cu(u)‎‏ برحسب جبر عملگرهای تپلیتس روی یک فضای هیلبرت مناسب بررسی می شود. این کار منجر به قضایای ساختاری برای دیسک واحد کوانتومی خواهد شد که ارتباط بسیار نزدیکی با نظریه براون - داگلاس - فیلمور دارد. در فصل 5 نشان داده خواهد شد که ‏‎‎‏‏‎su(1,1)/z2‎‏ می تواند نمایش یکانی ‏‎su(1,1)/z2‎‏ روی این فضا حاصل شود. سرانجام در فصل6، بسط های مجانبی حاصل ضرب های عملگرهای تپلیتس را مطالعه می کنیم و نشان می دهیم که درواقع، وقتی که ، در این صورت دیکس واحوکوانتومی به دیسک واحد معمولی میل می کند.